«№1 1. (1.60) Пусть события и означают попадание в мишень при 1-ом и 2-ом выстрелах. Выразить через и следующие события: 2 попадания при двух выстрелах; ровно одно попадание при двух ...»

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№1

1. (1.60)

Пусть события и означают попадание в мишень при 1-ом и 2-ом выстрелах. Выразить через и следующие события: 2 попадания при двух выстрелах; ровно одно попадание при двух выстрелах.

2. (1.156)

На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата наудачу бросается монета радиуса. Какова вероятность события {монета пересечет не более одной стороны квадрата}?

3. (1.46)

В электрическую цепь последовательно включены 4 сопротивления, которые могут выйти из строя независимо друг от друга. Вероятность того, что перегорит сопротивление 1, равна 0.1; 2 - 0.2; 3 - 0.15; 4 - 0.3. Какова вероятность событий: цепь вышла из строя; перегорели все сопротивления?

4. (1.56)

Имеются следующие буквы разрезной азбуки: а, а, а, н, н, с. Ребенок составляет буквы случайным образом. Какова вероятность того, что получится слово "ананас"?

5. (2.38)

В ящике находятся новых теннисных мячей и игранных. Из ящика наугад вынимают 2 мяча, играют и возвращают в коробку. Через некоторое время из ящика снова берут 2 мяча. Какова вероятность того, что они будут новыми ?

6. (2.8)

Производится 1 выстрел по плоскости, на которой расположены 2 цели: 1 и 2. Вероятность попасть в 1 цель равна W, во вторую - Y. После выстрела получено известие, что попадания в 1 цель нет. Какова вероятность того, что произошло попадание в цель 2?

7. (3.9)

В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятность того, что любой читатель возьмет книгу по технике и математике равна соответственно 0.7 и 0.3. Какова вероятность того, что 5 читателей подряд возьмут книги или только по математике или только по технике, если каждый из них берет только 1 книгу?

8. (3.41)

Вероятность прорастания семян данной партии пшеницы равна 0.95. Сколько семян надо взять, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100? Какова вероятность этого события?

9. (4.35)

Дискретная случайная величина имеет ряд распределения:

4 6

0.5 0.3

Найдите и, зная, что ; постройте ; Вычислите.

10. (4.32)

Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти:.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№2

1. (1.87)

Бросаются 2 игральные кости. Пусть события: А – сумма очков нечетная; В – хотя бы на одной из костей выпала 1. Описать события: А+В; АВ; А\В.

2. (1.78)

После бури на участке между 40 и 70 километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что обрыв произошел между 45 и 50 километрами линии?

3. (1.25)

Игральная кость бросается 1 раз. Какова вероятность событий: А - появление четное число очков; В – появление не менее 5 очков; С - появление не более 5 очков?

4. (1.120)

Из тщательно перемешанного набора 28 костей домино наудачу извлекают кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась: а) дублем; б) не дублем.

5. (2.73)

Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4 и 2/3. Какова вероятность того, что наудачу выбранный стрелок промахнулся?

6. (2.24)

Система обнаружения самолетов из-за помех в зоне может давать ложные показания с вероятностью 0.05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0.9. Вероятность появления самолета в зоне равна 0.25. Какова вероятность ложной тревоги?

7. (3.89)

Аппаратура состоит из 10 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время t c вероятностью 0.3. Какова вероятность следующих событий: за время t откажет ровно 3 элемента; за время t откажет хотя бы один элемент?

8. (3.87)

С завода-изготовителя на базу отправлено 4000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что одно изделие повредится в пути, равна 0.0005. Какова вероятность того, что на базу поступят от 3 до 5 испорченных изделий?

9. (4.41)

Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Вероятность попадания при каждом броске равна 0.3. Построить ряд распределения, F[x]. Вычислить M[x], D[x].

10. (4.60)

Случайные величины и связаны линейно со случайными величинами и :. Известны числовые характеристики:. Необходимо определить:.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№3

1. (1.132)

Из пруда, содержащего помеченных и непомеченных карпов, по схеме без возвращений случайно последовательно извлекают рыбы до тех пор, пока не появится первый из помеченных карпов. Описать пространство элементарных событий этого испытания.

2. (1.152)

Эскадрилья бомбардировщиков атакует нефтебазу "противника". На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Какова вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно?

3. (1.83)

Шесть студентов наудачу занимают любые из восьми компьютеров в классе. Какова вероятность того, что будут заняты первые шесть компьютеров?

4. (1.24)

Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность следующих событий: А - на каждой из выпавших граней появится 6 очков; В - на всех выпавших гранях появится равное число очков?

5. (2.27)

Имеется 5 урн, из которых 2 содержат по 1 белому и 5 черных шаров, 1 урна - 2 белых и 5 черных и последние 2 урны - по 3 белых и по 5 черных шаров. Из наудачу выбранной урны вытаскивается шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

6. (2.26)

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0.8, 7 - с вероятностью 0.7, 4 - с вероятностью 0.6 и 2 - с вероятностью 0.5. Наудачу выбранный стрелок выстрелил, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит стрелок?

7. (3.1)

Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее 3-х попаданий, а сделано 15 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4.

8. (3.65)

Деталь не проходит проверку ОТК с вероятностью 0.2. Какова вероятность того, что среди 400 наугад отобранных деталей: а) ровно 15 бракованных, б) не пройдут проверку менее 100 деталей?

9. (4.10)

Производятся три независимых опыта, в каждом из которых событие появляется с вероятностью равной 0.4. Рассматривается случайная величина число появления события в трех опытах. Построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины. Найти.

10. (4.79)

Необходимо найти плотность распределения, и случайной величины, заданной своей функцией распределения:

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№4

1. (1.176)

Из колоды карт (52 листа) вытаскивается 1 карта. Событие А – карта червовой масти. При подбрасывании 1 кубика выпало число очков, кратное 3 (событие В), при подбрасывании 2 кубиков сумма очков равна 7 (событие С). Из каких элементарных событий состоят события А, В и С? Какое из них более вероятно?

2. (1.162)

В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна, наудачу бросается точка. Вероятность попадания точки одинакова по всей площади треугольника. В треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан квадрат. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в треугольник точка попала в этот квадрат?

3. (1.71)

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок, равна 0.7, второй - 0.75, третий - 0.8. Какова вероятность, что в течение смены его внимания потребуют 2 станка?

4. (1.22)

Шестеро охотников увидели волка и одновременно выстрелили в него. Вероятность убить волка на таком расстоянии равна 1/3. Какова вероятность того, что волк будет убит?

5. (2.91)

С первого автомата на сборку поступает 80%, со второго – 20% таких же деталей. Брак на первом автомате равен 5%, а на втором – 10%. Две проверенные детали, изготовленные на одном автомате, оказались не бракованными. Какова вероятность этого события?

6. (2.17)

По каналу связи передается одна из последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с соответствующими вероятностями p1, p2 и p3 (p1 + p2 + p3 = 1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью q и с вероятностями 0.5(1 – q) и 0.5(1 – q) принимается за каждую из двух других букв. Полагая, что буквы искажаются независимо друг от друга, найдите вероятность того, что была передана последовательность АААА, если принята АВСА.

7. (3.90)

Вероятность появления события А равна 0.7. Какова вероятность того, что при 15 независимых испытаниях событие появится ровно 11 раз?

8. (3.53)

Вероятность появления события А равна 0.7. Какова вероятность того, что при 1500 независимых испытаниях событие появится не менее 1000 и не более 1080 раз?

9. (4.2)

Случайная величина X распределена по закону:

-1 0 1

1/6 1/2 1/3

А случайная величина. Чему равен коэффициент корреляции?

10. (4.57)

Функция распределения непрерывной случайной величины Х равна:

Найдите.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№5

1. (1.143)

Четыре поздравительные открытки случайно разложены по четырем конвертам с адресами. Сколькими способами можно их разложить? Выпишите пространство элементарных событий этого опыта.

2. (1.95)

Внутри круга радиуса независимо друг от друга выбирают наудачу две точки. Какова вероятность того, что только одна точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника?

3. (1.21)

Каждый из двух стрелков стреляет в мишень поочередно 2 раза. Вероятность попасть при одном выстреле равна 0.3. Попавший в мишень первым получает приз. Какова вероятность того, что стрелки получат приз?

4. (1.52)

1 сентября на 2 курсе АВТФ запланировано по расписанию 3 лекции по разным предметам. На 2 курсе изучается всего 10 дисциплин. Студент не ознакомился с расписанием и наугад берет 3 конспекта. Какова вероятность успеха, если считается, что любое расписание из 3 предметов равновозможно?

5. (2.56)

В 10 ящиках сложены детали двух сортов. В первых трех - по 3 детали первого и 7 деталей второго сорта; в четвертом ящике - 9 деталей первого и 1 деталь второго сорта; в остальных 6 ящиках - по 1 детали первого и по 9 деталей второго сорта. Из произвольного ящика наугад выбирается деталь. Какова вероятность того, что вынутая деталь первого сорта взята из первого, пятого ящика?

6. (2.76)

Известно, что 10% классных спортсменов принимают перед соревнованиями допинг. Без принятия допинга спортсмен берет рекордный вес в шести попытках из девяти, а после допинга - в восьми попытках из десяти. На соревнованиях рекордный вес был взят. Какова вероятность того, что спортсмен принял допинг?

7. (3.80)

Новое лекарство излечивает в 80 % случаев. Какова вероятность, что 4 больных из 5 излечатся? А как изменится эта вероятность, если эффективность лекарства увеличить до 90 %?

8. (3.16)

Какова вероятность появления герба 55 раз при 100 независимых опытах? Вероятность выпадения герба при одном опыте равна 0.5.

9. (4.19)

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места в первом ряду. Наудачу выбираются 3 билета. Составить ряд распределения случайной величины X – число билетов на места в первом ряду, оказавшихся в выборке. Построить многоугольник распределений, вычислить M[x], D[x].

10. (4.89)

Для СВ, распределенной по нормальному закону 15% значений x меньше 12 и 40% x больше 16.2. Найдите mx и x, верхний и нижний квартили.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№6

1. (1.205)

Брошены три игральные кости. Событие А - сумма очков на 3-х костях кратна 4, В - сумма выпавших очков равна 10. Запишите события: A, B, АВ, А+В, А\В, В\А.

2. (1.194)

Внутри круга радиуса независимо друг от друга выбирают наудачу две точки. Какова вероятность того, что обе точки окажутся внутри вписанного в этот круг правильного треугольника?

3. (1.122)

На электростанции 15 инженеров, из них 3 женщины. В смену заняты 3 человека. Какова вероятность того, что в случайно выбранной смене мужчин окажется не менее двух?

4. (1.45)

Монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится: а) ровно 2 раза; б) хотя бы один раз?

5. (2.88)

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во 2 – 30 деталей, из них 24 стандартные, в 3 – 10 деталей, из которых 6 стандартных. Какова вероятность того, что из двух наудачу извлеченных деталей из случайно взятого ящика одна стандартная, а другая не стандартная?

6. (2.29)

По телеграфному каналу связи передаются 2 типа сигналов "точка" и "тире". Первый сигнал передается в 2 раза чаще, чем второй. Вероятность приема сигнала "точка" без искажения равна 0.8, а для сигнала "тире" – 0.9. Какова вероятность события принят без искажения сигнал "тире"?

7. (3.29)

Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков двух партий подряд (ничья исключается). Вероятность выиграть у каждого игрока одинакова и не зависит от исхода предыдущей партии. Какова вероятность того, что игра окончится до 6 партий?

8. (3.24)

Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 случайных двузначных чисел (от 00 до 99). Какова вероятность того, что число 33 а) встретится 3 раза, б) встретится 4 раза?

9. (4.11)

Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вначале сбрасывает бомбу первый бомбардировщик, вероятность попадания в цель у которого равна 0.7, а у второго - 0.8. Составить первые 4 члена закона распределения дискретной случайной величины число бомб, сброшенных обоими летчиками. Найти,.

10. (4.47)

Случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти: 1) функцию распределения ; 2) вероятность попадания на интервал ; 3).

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№7

1. (1.214)

Подбрасываются две игральные кости, фиксируется сумма выпавших очков. Событие А – сумма кратная 3; событие В – сумма кратная 5. Запишите события: (А), (В), АВ, А+В, А\В, В\А.

2. (1.147)

В круге радиуса проводятся хорды параллельные заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению.

3. (1.12)

В мешочке 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекаются по одному 3 кубика. Какова вероятность того, что последовательно появятся кубики 1,2,3? а) без возвращения; б) с возвращением.

4. (1.218)

Вам в руки попал криптекс – цилиндр, состоящий из 6 вращающихся дисков с 26 буквами (Дэн Браун "Код да Винчи"). Открыть криптекс можно, отгадав шифр. Какова вероятность отгадать шифр с одной попытки, если шифр – любой возможный, буквы шифра – различные?

5. (2.86)

Страховая компания разделяет клиентов по классам риска: 1класс – малый риск, 2-й класс – средний риск, 3 – й класс – большой риск. Клиенты 1-го класса составляют 50%, 2-го – 30%, 3–го – 20%. Вероятность страхового случая для клиентов 1 класса риска равна 0.01, второго – 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что клиент, получит вознаграждение (страховой случай)?

6. (2.37)

Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Какова вероятность того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них соответственно равны 0.2, 0.4 и 0.6?

7. (3.88)

Вероятность появления события в каждом независимом опыте равна 0.8. Какова вероятность того, что событие появится в 10 испытаниях: а) более 7 раз, б) ровно 4 раза?

8. (3.76)

Томская сотовая связь осуществляет за время 150 000 соединений. Вероятность ошибки (неправильного соединения) равна 0.00001. Какова вероятность события: а) за время произошло 13 ошибок; б) за время произошло хотя бы 1 ошибка?

9. (4.1)

Найти неизвестные вероятности p1 и p2, зная таблицу распределения случайной величины Y и M[y] = 2.8. Найти D[y], построить F(y).

Y 0 1 4

p 0.1 p1 p2

10. (4.54)

Плотность распределения f(x) случайной величины X задана графически:

Найти.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№8

1. (1.204)

Бросаются 2 игральные кости. Пусть события: А – сумма очков кратна 3; В – хотя бы на одной из костей выпала 1. Описать события: А+В; АВ; А\В.

2. (1.209)

Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно. Два кольца с внешними радиусами 2r и 4r заштрихованы. В круге радиуса наудачу выбрана точка. Определите вероятность попадания этой точки а) в круг радиуса r; б) в заштрихованную область.

3. (1.166)

В коробке упаковано 25 пар детской обуви первого и второго сорта. Из них 16 пар первого сорта. Для проверки качества из коробки наудачу одну за другой вынимают две пары обуви. Какова вероятность того, что среди извлеченных пар обуви окажется: а) только одна пара обуви первого сорта? в) хотя бы одна пара обуви первого сорта?

4. (1.32)

Прибор состоит из 4 узлов, которые во время работы прибора могут независимо друг от друга выходить из строя. Вероятность безотказной работы го узла равна ; вероятность отказа.Какова вероятность событий: один узел отказал, отказало не менее двух узлов?

5. (2.36)

На сборку поступают однотипные изделия из 4 цехов. Вероятности брака в каждом из цехов равны соответственно 0.04, 0.03, 0.06 и 0.02. Первый цех поставляет 30, второй - 20, третий - 50 и четвертый - 25 изделий. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется бракованным?

6. (2.48)

В больницу поступает в среднем 50 % больных с заболеванием, 30 % - с заболеванием и 20 % - с заболеванием. Вероятность полного излечения болезни равна 0.7, для болезней и эти вероятности равны соответственно 0.8 и 0.9. Больной, поступивший в больницу, выписался здоровым. Какова вероятность того, что он страдал заболеванием ?

7. (3.30)

Вероятность выиграть по билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность выиграть не менее чем по 2 билетам из 6?

8. (3.36)

В первые классы должно быть принято 200 детей. Какова вероятность, что среди них будет ровно 100 девочек, если вероятность рождения мальчика 0.515?

9. (4.87)

В урне 6 шаров: 2 белых, 3 черных, 1 синий. Наудачу извлекаются 2 шара. СВ X - число белых шаров в выборке, СВ Y- число синих шаров в выборке. Составить закон распределения СВ X, СВ Y. Вычислить M[x], D[x], M[y], D[y].

10. (4.15)

Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения вероятности:

Найти: построить.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№9

1. (1.76)

Совместны ли события и ?

2. (1.180)

На отрезке длиной l наудачу выбраны 2 точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше kl, где 0 < k < 1?

3. (1.43)

В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют дефекты. Какова вероятность того, что наудачу отобранные два телевизора не имеют скрытых дефектов?

4. (1.18)

Какова вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадет различное число очков (не равное 6)?

5. (2.79)

Устройство состоит из трех независимо работающих микросхем. Вероятности отказа первой второй и третьей микросхемы соответственно равны 0.2; 0.3 и 0.4. Какова вероятность того, что отказали две микросхемы?

6. (2.84)

Партия микросхем, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. При проверке дефект (если он есть) обнаруживается с вероятностью 0.95 и с вероятностью 0.03 исправная микросхема признается дефектной. Случайно выбранная микросхема признана дефектной. Какова вероятность того, что в действительности микросхема – исправная, дефектная?

7. (3.43)

Число коротких волокон в партии хлопка составляет, в среднем, 30%. Каково наивероятнейшее число коротких волокон в партии из 24 волокон? Какова вероятность этого события?

8. (3.25)

Вероятность появления события в каждом независимом опыте равна 0.8. Какова вероятность того, что событие появится в 100 испытаниях: а) более 70 раз, б) не более 74 раз?

9. (4.45)

Найти закон распределения случайной величины Х – суммы очков, выпавших на двух игральных костях. Вычислите.

10. (4.44)

Случайная величина подчинена закону:.

Найти коэффициент, построить графики, вычислить

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№10

1. (1.34)

Построить пространство элементарных событий для испытаний: а) подбрасывается правильная монета и игральная кость; б) подбрасывается игральная кость и вытаскивается из колоды карта какой то масти.

2. (1.148)

Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно. Круг радиуса и два кольца с внешними радиусами и заштрихованы. В круге радиуса наудачу выбрана точка. Определите вероятность попадания этой точки а) в круг радиуса ; б) в заштрихованную область.

3. (1.15)

Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0.875. Какова вероятность попадания при одном выстреле (предполагается, что вероятность появления события в трех испытаниях одна и та же)?

4. (1.131)

В течение четырех недель студенты сдают 4 экзамена, причем 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно составить расписание так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?

5. (2.87)

В двух урнах находится соответственно и белых и и черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух шаров наудачу берется один. Какова вероятность, что этот шар черный?

6. (2.16)

При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного равна. Вероятность принять здорового человека за больного равна, а доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна. Какова вероятность того, что человек здоров, если при обследовании он был признан больным?

7. (3.12)

Событие появится, если событие наступит не менее четырех раз. Какова вероятность события, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0.8?

8. (3.14)

Среди семян ржи 0.4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

9. (4.39)

Независимые случайные величины X и Y заданы законами:

-1 0 1 2 4 5

0.3 0.4 0.3 0.1 0.2 0.7

Составить закон распределения величины Z = X + Y. Вычислить M[z]; D[z].

10. (4.21)

Вычислить и распределения, заданного интегральной функцией.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№11

1. (1.208)

Студенту выдали 10 обручей для набрасывания на стержень. Испытание заканчивается, как только студент промахивается. Запишите пространство этого опыта.

2. (1.196)

Внутрь квадрата со стороной наудачу бросаются две точки. Какова вероятность того, что обе точки окажутся вне вписанной в этот квадрат окружности?

3. (1.55)

Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0.8, а вероятность попадания второго стрелка - 0.9. Стрелки делают по одному выстрелу. Какова вероятность поражения цели?

4. (1.158)

Четыре мальчика и три девочки садятся случайным образом в один ряд. Какова вероятность того, что на концах ряда окажутся 2 мальчика (девочки)?5.

5. (2.18)

В продажу поступают телевизоры 3-х заводов. Продукция первого завода содержит 20 % брака, второго – 10 %, третьего – 5 %. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % телевизоров с 1 завода, 20 % - со второго, 50 % - с третьего?

6. (2.21)

Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин дальтоники. Наудачу выбранное лиц о страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина, если считать, что мужчин и женщин поровну?

7. (3.13)

Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0.7, а в девятку - 0.3. Какова вероятность при трех выстрелах выбить не мене 29 очков?

8. (3.54)

Вероятность появления события А в каждом из 2100 опытах равна 0.7. Какова вероятность того, что это событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз?

9. (4.72)

Для поступления в институт абитуриенту необходимо сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0.9, второго – 0.8, третьего – 0.7. Абитуриент сдает следующий экзамен только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения СВ Х – числа экзаменов, сдаваемых абитуриентом. Вычислить M[x], D[x].

10. (4.58)

График плотности распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

13227056477000 f(x) Найти функции. Построить график

. Вычислить.

12941301079500065405010795000

47117013462000

-1 0 2 х

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№12

1. (1.142)

Бросаются одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность событий: сумма выпавших очков равна 10; произведение выпавших очков равно 6. Из каких элементарных событий состоят события и ?

2. (1.212)

На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1.5 и 8 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная на эту плоскость монета радиуса 2.5 см пересечет две линии?

3. (1.175)

Из разрезной азбуки выкладывается слово ВЕРОЯТНОСТЬ. Затем все буквы тщательно перемешиваются и снова последовательно раскладываются. Какова вероятность того, что снова получится слово ВЕРОЯТНОСТЬ?

4. (1.17)

Восемь различных книг расставлены наудачу на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?

5. (2.6)

В ящике находится 12 деталей, изготовленных на 1 заводе, 20 деталей - на заводе 2 и 18 деталей - на 3 заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе 1, отличного качества равна 0.9; для деталей завода 2 и 3 эти вероятности равны 0.6 и 0.9 соответственно. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества?

6. (2.70)

Известно, что 25 % мужчин и 5 % женщин – дальтоники. В группе 18 мальчиков и 22 девочки. Какова вероятность того, что наугад выбранный ребенок окажется мальчиком – дальтоником?

7. (3.32)

Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0.02. Какова вероятность хотя бы одного выигрыша при покупке 4 билетов?

8. (3.18)

Вероятность появления положительного результата в каждом из N независимых опытов равна 0.9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0.98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

9. (4.18)

В партии 100 изделий, среди которых 10 бракованных. Случайным образом выбираем 5 изделий для контроля. Построить ряд распределений X – числа дефектных изделий в выборке. Вычислить M[x], D[x].

10. (4.43)

Случайная величина распределена по закону:

Постройте. Найдите и.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№13

1. (1.79)

Пусть события попадание в мишень соответственно 1-м, 2-м и 3-м стрелками при одном выстреле. События промахи этих стрелков. Найти выражения для событий: только два попадания, хотя бы одно попадание, хотя бы 2 попадания в результате этих 3-х выстрелов.

2. (1.98)

Мишень состоит из двух концентрических кругов с радиусами и, где. Считая равновозможным попадание в любую часть круга радиуса, определите вероятность того, что при двух выстрелах будет ровно одно попадание в круг радиуса ?

3. (1.65)

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса, либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Какова вероятность для пьяницы избежать падения за 2, 3 шага?

4. (1.54)

Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты. Какова вероятность для одного игрока получить 13 карт одной масти (при условии, что карты хорошо перетасованы)?

5. (2.46)

По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.5, 2-ом – 0.6, 3-ем – 0.8. Для вывода самолета из строя достаточно 3-х попаданий; при одном – самолет выходит из строя с вероятностью 0.3; при двух – с вероятностью 0.6. Какова вероятность, что в результате обстрела самолет будет сбит?

6. (2.58)

Известно, что 96 % всей выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную – с вероятностью 0.05. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, стандартное?

7. (3.79)

Баскетболисту надо набрать не менее 5 очков. При этом он может пробивать либо штрафные (по 1 очку), либо броски средней дальности (по 2 очка), либо дальние броски (по 3 очка каждый). Вероятность попасть при штрафном броске равна 0.8, при броске со средней дистанции - 0.7, а при дальнем – 0.5. Какую стратегию выбрать?

8. (3.64)

Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0.02. Сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша была больше (равна) 0.5?

9. (4.20)

Случайная дискретная величина имеет только два возможных значения и, причем равновероятных. Доказать, что равна квадрату полуразности возможных значений.

10. (4.78)

Случайная величина Х является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал [16, 20] равна 0.98. Найдите дисперсию этой случайной величины.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№14

1. (1.136)

Студент подбрасывает монету, пока не выпадут подряд 2 "орла" или 2 "решки". Выпишите пространство элементарных событий этого опыта, ограничившись 6 испытаниями.

2. (1.149)

На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой многократно бросается монета диаметром, в результате чего установлено, что в 40 % случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Каковы размеры сетки?

3. (1.8)

Прибор состоит из двух узлов, работа каждого из них, безусловно, необходима для работы прибора в целом. Надежность первого узла равна, второго. Прибор испытывают в течение времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Какова вероятность того, что отказал только узел 1, а узел 2 - исправен?

4. (1.114)

В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок. Если гнездо было пустым, выстрела не происходит. Какова вероятность того, что, проделав опыт два раза подряд, револьвер не выстрелит?

5. (2.71)

На трех дочерей (старшую, среднюю и младшую) в семье возложена обязанность мыть посуду. Старшая дочь выполняет40 % всей работы, остальные дочери – по 30 % каждая. Вероятности разбить при мытье хотя бы одну тарелку составляют для девочек соответственно 0.02; 0.03; 0.04. Какова вероятность того, что при мытье посуды ни одна тарелка не будет разбита?

6. (2.33)

Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда ведет 5 дорог. Известно, что вероятность выйти из леса за час равна соответственно 0.6, 0.3, 0.2, 0.1 и 0.1. Какова вероятность того, что путник шел по 1 дороге, если известно, что через час он вышел из леса?

7. (3.26)

Батарея произвела по объекту 6 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.3. Какова вероятность разрушить объект, если для этого достаточно 2 попаданий?

8. (3.17)

Обычно 98% изделий отвечают требованиям ОТК, 2% нуждаются в регулировке. Принимается партия из 300 изделий. Если среди них окажется 11 или более изделий, нуждающихся в регулировке, то вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята?

9. (4.83)

В коробке 4 красных и 3 зеленых карандаша. Из коробки случайным образом извлекают 3 карандаша. Найти закон распределения СВ Х – число извлеченных красных карандашей. Определите вероятности событий: А – извлечено не менее 2 красных карандашей; В – извлечено не более 1 красного карандаша.

10. (4.26)

Случайная величина задана интегральной функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате 4-х независимых испытаний случайная величина примет ровно 3 раза значение, принадлежащее интервалу(0.25, 0.75

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№15

1. (1.11)

Монета подбрасывается до тех пор, пока не появится подряд два герба или две решки. Какова вероятность события "понадобится не более трех бросаний"? Запишите пространство элементарных событий при трехкратном бросании монеты.

2. (1.195)

Внутри круга радиуса независимо друг от друга выбирают наудачу две точки. Какова вероятность того, что только одна точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника?

3. (1.20)

На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна буква "а", "т", "м", "р", "с", "о". Карточки перемешиваются. Какова вероятность того, что на четырех карточках, вынутых по одной и расположенных в одну линию, можно будет прочесть слово "трос"?

4. (1.202)

В кафе продаются пирожные 4-х сортов. Сколько различных наборов из 6 пирожных можно составить?

5. (2.75)

Известно, что 10% классных спортсменов принимают перед соревнованиями допинг. Без принятия допинга спортсмен берет рекордный вес в шести попытках из девяти, а после допинга - в восьми попытках из десяти. Какова вероятность того, что на соревнованиях рекордный вес будет взят?

6. (2.25)

Отклонение режима работы автоматической линии от нормального фиксируется индикатором. Он принадлежит к одному из трех типов с вероятностью 0.2, 0.3 и 0.5. Вероятность срабатывания при нарушении нормальной работы линии равна для каждого типа индикаторов 1, 0.75 и 0.4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего он принадлежит?

7. (3.33)

Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. За время каждый элемент может выйти из строя с вероятностью 0.1. Какова вероятность нормальной работы устройства, если для этого необходимо не менее 3 работающих элементов?

8. (3.78)

Вакцина против полиомиелита надежна в 99.99% случаев. Какова вероятность того, что из 10 000 вакцинированных детей заболеет 0, 3?

9. (4.22)

Производится последовательное, независимое испытание надежности пяти приборов. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий прибор оказался надежным. Построить ряд распределения случайной величины X – число испытанных приборов. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.9. Вычислить M[x], D[x].

10. (4.49)

Плотность распределения случайной величины задана графически: Найдите: 1) выражение для ; 2) и постройте график; 3).

16598903810000 p(x)

16598901651000

165989043053000

0 2 4 x

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№16

1. (1.69)

События и означают попадание в мишень при 1-м и 2-м выстреле. Выразить через и следующие события: хотя бы одно попадание при 2-х выстрелах; ни одного попадания при 2-х выстрелах.

2. (1.101)

В квадрат с вершинами (0;0),(0;1),(1;0),(1;1) наудачу брошена точка,. Какова вероятность того, что корни уравнения действительны и различны?

3. (1.113)

В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Какова вероятность того, что, вынутые наугад две нити будут одного цвета?

4. (1.126)

В ящике содержатся детали трех сортов: 5 – первого, 4 – второго и 3 – третьего. Из ящика наугад извлекают по 1 детали без возвращения. Какова вероятность того, что при первом испытании появится деталь первого сорта, при втором – второго, при третьем – третьего?

5. (2.77)

В магазин поступили телевизоры трех фирм. От первой фирмы поступило 20 телевизоров, от второй - 10 телевизоров, и от третьей - 70 телевизоров. Вероятности брака у каждой фирмы соответственно равны 0.02; 0.03 и 0.05. Какова вероятность того, что случайно приобретенный телевизор будет качественным?

6. (2.59)

Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, и 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков зафиксированы 2 попадания. Какова вероятность того, что промахнулся третий стрелок?

7. (3.93)

Игральная кость подбрасывается ровно 12 раз. Какова вероятность того, что грань с 6 очками выпадет не менее 1 и не более 3 раз?

8. (3.62)

Вероятность появления события в каждом независимом опыте равна 0.75. Какова вероятность того, что событие появится в 80 испытаниях а) более 70 раз, б) не более 54 раз?

9. (4.10)

Производятся три независимых опыта, в каждом из которых событие появляется с вероятностью равной 0.4. Рассматривается случайная величина число появления события в трех опытах. Построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины. Найти.

10. (4.68)

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения, интегральная функция которого задана графически. Найдите: 1) функцию распределения ; 2) плотность распределения; 3).

175133010795000F(x)

205740013335000102870013335000 1

56261069850009283706985000

-3 0 1 х

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№17

1. (1.121)

Имеется группа из 6 человек, в которой 2 девочки. Какое количество отрядов из 3-х человек, в который вошла бы одна девочка, можно составить из этой группы?

2. (1.183)

Случайная точка А равномерно распределена в квадрате со стороной 1. Какова вероятность того, что эта точка отстоит от центра квадрата не менее чем на 0.5, и абсцисса не больше ординаты?

3. (1.16)

Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Какова вероятность того, что включенными окажутся изношенные элементы?

4. (1.50)

На складе имеется 15 кинескопов, из которых 10 изготовлены на львовском заводе. Какова вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов, 3 кинескопа окажутся львовскими?

5. (2.92)

По телеграфному каналу связи передаются 2 типа сигналов "точка" и "тире". Первый сигнал передается в 2 раза чаще, чем второй. Вероятность приема сигнала "точка" без искажения равна 0.8, а для сигнала "тире" – 0.9. Какова вероятность события принят без искажения случайно переданный сигнал?

6. (2.19)

Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Какова вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень 1, 2 и 3 стрелками соответственно равны 0.6, 0.5 и 0.4?

7. (3.3)

Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви потребуется обувь 37 размера, равна 0.25. Какова вероятность того, что из 4-х первых покупателей обувь этого размера: а) ни одному не потребуется; б) потребуется хотя бы одному?

8. (3.74)

При изготовлении отливок брак составляет 20%. Сколько необходимо запланировать отливок, чтобы с вероятностью не менее 0.95 была обеспечена программа, для выполнения которой необходимо 50 бездефектных отливок?

9. (4.46)

На полке 10 книг, 3 из которых в переплете. Библиотекарь взял наудачу 2 книги. Постройте ряд распределения случайной величины числа отобранных книг в переплете. Вычислите.

10. (4.48)

Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Найти коэффициент C, M[x], D[x]. Построить график функции F(x).

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№18

1. (1.48)

Цифры 1, 2, 3 и 4 пишутся на четырех листках бумаги. Листки кладутся в шляпу и перемешиваются. Наудачу вынимаются один за другим два листка бумаги. Описать пространство элементарных событий, соответствующих этому опыту. Из каких элементарных событий состоят события: А - сумма цифр на листках равна 7; В - разность цифр равна 3?

2. (1.47)

Если хорда выбирается наудачу в данном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

3. (1.125)

В денежно – вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых призов. Некто приобрел 2 билета. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один билет?

4. (1.57)

Для сдачи коллоквиума студенту достаточно ответить хотя бы на один из двух предлагаемых последовательно вопросов. Студент подготовил 27 из 36 вопросов. Какова вероятность того, что студент коллоквиум сдаст?

5. (2.67)

По телеграфному каналу связи передаются 2 типа сигналов "точка" и "тире". Первый сигнал передается в 2 раза чаще, чем второй. Вероятность приема сигнала "точка" без искажения равна 0.8, а для сигнала "тире" - 0.9. Какова вероятность события принят сигнал "точка"?

6. (2.11)

Имеется 3 партии изделий, в каждой из которых содержится 3 %, 2 % и 1 % некондиционных изделий. Из наугад выбранной партии случайным образом взятое изделие оказалось некондиционным. Какова вероятность того, что оно взято из первой партии?

7. (3.2)

Стрелок стреляет по цели 5 раз подряд. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.8. Какова вероятность того, что цель будет поражена 4 раза?

8. (3.56)

Вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна 0.6. Какова вероятность того, что в 2400 испытаниях событие А наступит 1400 раз?

9. (4.6)

Производится ряд выстрелов с вероятностью попадания, равной 0.8. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех выстрелов. Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, вычислить M[x] и D[x].

10. (4.27)

Непрерывная случайная величина распределена по закону арксинуса:

Построить график, вычислить вероятность.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№19

1. (1.130)

Цифры 1,2,3,4 и 5 написаны каждая на отдельной карточке. Тщательно перемешав карточки, наугад взяты две подряд. Какова вероятность, что число, составленное из этих цифр в порядке их появления, будет четным?

2. (1.99)

На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1.5 и 8 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная на эту плоскость монета радиуса 2.5 см не пересечет ни одной линии?

3. (1.135)

Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации игральных костей равновероятны. Какова вероятность событий: б) выпало ровно три "6"; в) выпала хотя бы одна "4"?

4. (1.186)

При игре в преферанс игрок объявил "мизер", рассчитывая, что в "прикупе" 2 семерки, либо семерка и восьмерка одной масти. Какова вероятность этого события, если в колоде карт 32 листа?

5. (2.39)

Стрельба ведется по 5 мишеням типа, трем – типа и двум – типа. Вероятность попадания в мишень 0.4, 0.1 и 0.15. Какова вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет сделан?

6. (2.5)

В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для обыкновенной винтовки - 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

7. (3.5)

В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0.8. Какова вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой?

8. (3.60)

Телефонная станция обслуживает 1 000 абонентов. За время абоненты с вероятностью 0.005 независимо друг от друга могут сделать вызов. Какова вероятность того, что будет не более 10 и не менее 2 вызовов?

9. (4.82)

Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p. Рассматриваются СВ Х – разность между числом попаданий и числом промахов; Y – сумма числа попаданий и промахов. Построить для каждой СВ ряд распределения. Найти mx, Dx, my, Dy.

10. (4.90)

Для СВ, распределенной по нормальному закону 10% значений x меньше 11 и 40% x больше 15. Найдите mx и x, верхний и нижний квартили.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№20

1. (1.207)

В урне находятся жетоны, пронумерованные от 1 до 30. Событие А – число на жетоне четное; В – число простое. Запишите события: A, B, АВ, А+В, А\В, В\А.

2. (1.29)

Две одинаковые монеты радиуса расположены внутри круга радиуса, в который наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются?

3. (1.167)

В ящике лежат 7 различных пар носков. Мальчик наудачу выбирает 2 носка. Сколько различных комбинаций соответствует данному опыту?

4. (1.74)

Для сдачи коллоквиума достаточно ответить на один из двух вопросов. Студент не знает 8 вопросов из 40. Какова вероятность, что студент сдаст коллоквиум?

5. (2.61)

В Томске за весенне-летний сезон примерно в один из пяти дней бывает дождь, в остальные дни – ясная погода. Накануне каждого дня дается прогноз погоды. Вероятность прогноза дождя равна 0.5, а вероятность прогноза ясной погоды равна 0.9. Какова вероятность правильно предсказать погоду на завтра?

6. (2.62)

В Томске за весеннее-летний сезон примерно в один из пяти дней бывает дождь, в остальные дни – ясная погода. Накануне каждого дня дается прогноз погоды. Вероятность прогноза дождя равна 0.5, а вероятность прогноза ясной погоды равна 0.9. Какова вероятность дождя, если была предсказана ясная погода на завтра?

7. (3.31)

30 % изделий данного завода - высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий. Какова вероятность того, что 4 из них высшего сорта?

8. (3.7)

Известно, что левши составляют в среднем 1% населения. Какова вероятность того, что из отобранных наудачу 200 человек окажется ровно 3 левши?

9. (4.23)

Найти, если случайная величина принимает значения и, с соответствующими вероятностями 0.4 и. Известно, что.

10. (4.64)

Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Вычислить.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№21

1. (1.133)В магазине работают 10 продавцов, из них 6 женщин. В смене заняты 3 продавца. Какова вероятность того, что все они мужчины, хотя бы 1 продавец мужчина?

2. (1.161)

Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 минут до пересечения судном курса лодки и не позднее, чем через 20 минут после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.

3. (1.13)

Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0.75. Какова вероятность появления события при одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же)?

4. (1.9)

В урне белых и черных шаров. Из урны вынимают сразу 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары будут разных цветов?

5. (2.81)

В сборной команде школы 40% составляют учащиеся 10-х классов, 35% - учащиеся 9-х и 25% - учащиеся 8-х классов. После первого дня соревнований неудача постигла соответственно 2, 4 и 5% учащихся. Какова вероятность того, что случайно встреченный после соревнований ученик оказался выигравшим?

6. (2.63)

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0.8; 7 – с вероятностью 0.7; 4 – с вероятностью 0.6; и 2 – с вероятностью 0.5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит стрелок?

7. (3.15)

Известно, что вероятность выбить при одном выстреле 8 очков равна 0.15, а менее восьми очков – 0.4. Вероятность выбить при трех независимых выстрелах 30 очков равна 0.008. Какова вероятность выбить не менее 28 очков?

8. (3.59)

Чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью 100 монет одну фальшивую. Король подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

9. (4.9)

Независимые опыты проводятся до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайной величины опытов: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов. Вероятность положительного исхода в одном опыте равна 0.5.

10. (4.28)

Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Определите:.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№22

1. (1.134)

"Политический тотализатор" - игра для взрослых. В областную Думу Томска от каждого округа избираются по 2 депутата. По первому избирательному округу зарегистрировали 9 кандидатов, по 2-му, 3-му и 6-му - по 11, по 4-му - 12, а по 5-му - 7 кандидатов. Игрок наугад отмечает (избирает) по 2 фамилии кандидатов по каждому из 6 округов. Какова вероятность того, что отгаданы все 12 депутатов?

2. (1.144)

Стержень длины L разломан в двух наудачу выбранных точках. Чему равна вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник?

3. (1.19)

Задумано двузначное число. Какова вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное число, цифры которого различны?

4. (1.61)

Студент подготовил к экзамену 20 из 25 вопросов программы. В билете предложены два случайно выбранных вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на оба вопроса, хотя бы на один вопрос?

5. (2.2)

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во 2 - 30 деталей, из них 24 стандартные, в 3 - 10 деталей, из которых 6 стандартных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная?

6. (2.14)

Имеется 3 партии деталей по 20 штук в каждой. Число стандартных деталей в 1, 2, и 3 партиях соответственно равны 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Какова вероятность того, что деталь извлечена из третьей партии?

7. (3.81)

На пяти телевизионных каналах реклама занимает 5 минут в час. Какова вероятность следующих событий: а) по всем каналам идет реклама; б) на всех каналах нет рекламы; в) на трех каналах идет реклама, а на остальных нет?

8. (3.19)

На факультете обучаются 730 студентов. Вероятность попадания дня рождения студента на любой день года равна 1/365. Какова вероятность того, что у трех студентов дни рождения совпадут?

9. (4.40)

Монета бросается 3 раза. Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – число выпадения герба. Построить F(x). Вычислить M[x], D[x].

10. (4.38)

Случайная величина задана интегральной функцией:

Найти дифференциальную функцию f(x), M[x], D[x]. Построить графики функций: f(x), F(x).

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№23

1. (1.81)

У богатого коллекционера было десять ценных картин. Он решил сделать подарок музею. Сколько вариантов подарка существует, если можно подарить любую одну, две,..., десять картин?

2. (1.154)

На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата равной наудачу бросается монета радиуса. Какова вероятность события {монета попадет целиком внутрь одного квадрата}?

3. (1.73)

Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации игральных костей равновероятны. Какова вероятность событий: а) не выпало ни одной "3"; г) выпало хотя бы две "2"?

4. (1.26)

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Какова вероятность того, что номер первого наудачу взятого жетона не содержит цифры 5?

5. (2.3)

Имеется 2 партии однородных изделий. Первая партия состоит из изделий, из которых дефектных. Вторая партия состоит из изделий, из которых дефектных. Из 1 партии берут случайным образом изделий, а из 2 изделий. Эти изделий смешивают и образуют новую партию. Из новой партии берется наугад 1 изделие. Какова вероятность того, что это изделие будет дефектным?

6. (2.4)

Батарея из трех орудий произвела залп, причем 2 снаряда попали в цель. Какова вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятность попадания в цель 1, 2 и 3 орудия равны соответственно 0.4, 0.3 и 0.5?

7. (3.45)

Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле равна 14. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Какова вероятность событий: б) ровно два попадания; с) хотя бы одно попадание?

8. (3.28)

Телефонная станция обслуживает 1 000 абонентов. За время абоненты с вероятностью 0.005 независимо друг от друга могут сделать вызов. Какова вероятность того, что будет сделано ровно 7 вызовов?

9. (4.14)

Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

-1 0 1 0 1 2 3

0.3 0.5 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4

Составьте закон распределения разности. Проверьте справедливость выражения:.

10. (4.59)

Плотность распределения случайной величины задана функцией:

Найти коэффициент C, F[x], M[x], D[x], Р(-1, 1).

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№24

1. (1.128)

В семье много детей. Семеро из них любят капусту, шестеро морковь, пятеро - горох, четверо - капусту и морковь, трое - капусту и горох, двое - морковь и горох. А один охотно ел капусту, морковь и горох. Сколько детей было в семье?

2. (1.102)

Внутри круга радиуса независимо друг от друга выбирают наудачу две точки. Какова вероятность того, что обе точки окажутся внутри вписанного в этот круг квадрата?

3. (1.4)

Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятность отказа элементов равна соответственно 0.05 и 0.08. Какова вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент?

4. (1.66)

Вероятность того, что каждый из 3 друзей придет в условленное место соответственно равны 0.8, 0.4 и 0.7. Какова вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум друзьям?

5. (2.52)

В правом кармане имеются три монеты по 20 коп и четыре монеты по 3 коп, а в левом - шесть по 20 коп и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают 5 монет. Какова вероятность извлечь из левого кармана после перекладывания монету в 20 коп, если монета берется наудачу?

6. (2.23)

Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали во всех партиях 1 сорта. Деталь, взятая наугад, оказалась первосортной. Какова вероятность того, что деталь взята из партии, имеющей второсортные детали?

7. (3.40)

Какова вероятность осуществления от 2 до 4 разговоров по телефону при наблюдении 5 независимых вызовов, если вероятность того, что при вызове разговор состоится, равна 0.7?

8. (3.61)

Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 случайных двузначных чисел (от 00 до 99). Какова вероятность того, что число 27 а) встретится 5 раз, б) встретится не менее 5 раз?

9. (4.51)

Найдите неизвестные вероятности, зная таблицу распределения случайной величины, и математическое ожидание.

0 1 3 4

0.1 0.3

Найдите, постройте функцию распределения.

10. (4.55)

Плотность распределения f(x) случайной величины X задана графически:

1) Написать выражение плотности распределения.

2) Найти функцию распределения и построить ее график.

3) Вычислить M[x]; D[x], эксцесс, нижний и верхний квартили.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

№25

1. (1.35)

Производится три выстрела из орудия по цели. Событие попадание в цель при ом выстреле. Записать в алгебре событий: ровно одно попадание; хотя бы одно попадание; хотя бы один промах.

2. (1.150)

Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9?

3. (1.92)

Для разрушения моста достаточно одной авиационной бомбы. На мост сброшены 4 бомбы с вероятностью попадания 0.3, 0.4, 0.6 и 0.7 соответственно. Какова вероятность того, что мост будет разрушен?

4. (1.59)

Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта?

5. (2.72)

Известно, что 25 % мужчин и 5 % женщин – дальтоники. В группе 18 мальчиков и 22 девочки. Какова вероятность того, что наугад выбранный ребенок окажется не дальтоником?

6. (2.43)

На линии связи передаются два сигнала и с вероятностями 0.84 и 0.16 соответственно? Из-за помех 1/6 сигналов искажается и принимается как сигнал, а 1/8 часть переданных - сигналов принимается как сигналы. Какова вероятность того, что на приемном пункте появится сигнал, если был послан: а) сигнал, б) сигнал ?

7. (3.44)

Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в "яблочко" при одном выстреле равна 14. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Какова вероятность событий: а) ровно одно попадание; д) не менее трех попаданий?

8. (3.37)

Игральная кость подбрасывается ровно 1 200 раз. Какова вероятность наивероятнейшего числа выпадения 6 очков?

9. (4.4)

Составить ряд распределения случайной величины. Найти и, если и заданы законами распределения:

-2 0 1 -1 0

0.2 0.4 0.4 0.7 0.3

10. (4.50)

Функция распределения случайной величины имеет вид:

Определите: 1) при каких значениях и функция непрерывна;2) функцию плотности ; 3).