«Вариант 1 Часть 1 Модуль «Алгебра» Модуль «Геометрия» Модуль «Реальная математика» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,8 1 4 -2,5 231 18 1,5 3 70 20 1512 3,5 23 2 9 3600 ...»

Ответы к репетиционному экзамену по математике 9

18 марта 2015 года.

Вариант 1

Часть 1

Модуль

«Алгебра» Модуль «Геометрия» Модуль

«Реальная математика»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,8 1 4 -2,5 231 18 1,5 3 70 20 1512 3,5 23 2 9 3600 2,5 34 0,75 42,25

Часть 2

Модуль «Алгебра»

21. Сократите дробь 12n22n-33n-1.

Решение.

12n22n-33n-1= (223)n22n-33n-1= 22n3n22n-33n-1= 22n22n-33n3n-1= 233=24Ответ.24

22. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч?

Решение. 1 способ

Скорость (км/ч) Время (час). Расстояние (км)

По течению реки 8 + 2 = 10 х

Против течения реки 8- 2 =6 х

Зная, что на весь путь – туда, обратно и прогулку по берегу туристы потратили 5ч., составим и решим уравнение:

x6+ x10+3=5.

x6+ x10=5-3,

x6+ x10=2, |30

5х + 3х = 60, 8x = 60,

x = 7, 5. Значит, туристы отплыли от лагеря на 7,5 км.

2 способ.

Скорость (км/ч) Время (час). Расстояние (км)

По течению реки 8 + 2 = 10 х 10х

Против течения реки 8 - 2 =6 5 -3 – х = 2 - х 6 (2-х)

Зная, что расстояние одинаковое, составим и решим уравнение:

10х = 6 (2-х),

10х = 12 - 6х,

10х + 6х =12,

16х =12,

4х = 3,

х = 0,75. Значит, туристы затратили на движение по течению реки 0,75 часа. Тогда они отплыли от лагеря на расстояние 10 0,75 = 7,5(км.)

Ответ. 7,5 км.

23. Постройте график функции y=x-2x2-5x+4x-4 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

y=x-2x2-5x+4x-4. Д (у) = (-; 4)(4; )

Преобразуем функцию, разложив на множители квадратный трехчлен x2-5x+4. Решим уравнение x2-5x+4=0По теореме Виета: x1+x2=5, x1 = 1,

x1x2=4; x2 = 4.

3681095-30099000x2-5x+4=(х – 1)(х – 4).

y=x-2x2-5x+4x-4= x-2х-1(х-4)x-4,

у = x-2х-1 при x4,

у = х2 – 3х + 2 при x4. Графиком функции является парабола с «выколотой» точкой (4; 6). Ветви параболы направлены вверх, т.к. а = 1, 1> 0. Найдем координаты вершины параболы: хо =- = - -32=1,5уо = 1,52 - 31,5 + 2 = 2,25 – 4,5 + 2 = - 0,25.

(1; 0), (2;0) – точки пересечения с осью Ох, (0; 2) – точка пересечения с осью Оу. Найдем координаты дополнительных точек: (-1; 6), (3; 2). Построим график в системе координат. Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = - 0,25 и m = 6

Ответ. – 0,25; 6.

24.В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 8, BC = 15. Найдите медиану CM этого треугольника.

Решение. Гипотенуза АВ является диаметром окружности описанной около треугольника АВС. Точка М – центр этой окружности. Медиана СМ является радиусом и СМ = 1/2АВ.

А

М

С В

По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 152 = 289, АВ = 17. СМ = 8,5. Ответ. 8,5.

25. В параллелограмме ABCD точка E середина стороны CD. Известно, что EA = EB. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник.

Решение.

В С С

Е

А D

ВСЕ = АDE по трем сторонам:

ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма;

EA = EB по условию; СЕ = ЕD, т.к. по условию Е – середина СD.

Следовательно, < ВСЕ = <АDЕ. < ВСЕ + <АDЕ = 180 (односторонние углы при AD| |BC и секущей CD). Значит, < ВСЕ =

<АВС = < АDС, < ВАD = < ВСD по свойству параллелограмма.

Итак,<АВС = < ВАD = < АDС = < ВСD= 900. Значит, АВСD – прямоугольник. Что и требовалось доказать.

26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

В

О

О1С

А

H

М

ОС – биссектриса < МСH (центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника).

МСО1 = HCО1 – прямоугольные.

МО1 = HО1 как радиусы, О1С – общая. Следовательно, < МСО1 = < HCО1, значит, СО1 - биссектриса < МСH.

< АСВ и < АСH – смежные, значит, ОС и О1С биссектрисы смежных углов. < АСВ + < АСH = 180, 2< АСО +2 < АСО1 = 180, < АСО + < АСО1 = 90.

Следовательно, < ОСО1 = 900 и ОСО1 прямоугольный.

< ОМС = 900 (ВМ – медиана и высота равнобедренного АВС),

ОМС и CМО1 – прямоугольные. СМ – высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит, СМ =, 5=, 25 = 6 ОМ, ОМ =.

Можно так:

ОМС ~ CМО1 по двум углам (< ОМС = < О1МС = 900, < ОМС = < CМО1).МСМО1= ОММС. Пусть ОМ = х, тогда 56=x5, х = 416.

Ответ. 416