«Ярцевского района Смоленской области Реферат по математике на тему: «Решение задач с помощью кругов Эйлера» Выполнили: ученики 8 класса Горюнов Вадим, Чучков Никита, Виноградова Кристина. ...»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Суетовская средняя школа

Ярцевского района Смоленской области

Реферат

по математике

на тему:

«Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Выполнили: ученики 8 класса

Горюнов Вадим, Чучков Никита,

Виноградова Кристина.

Руководитель: учитель математики

Буренкова Елена Алексеевна

2016

Содержание стр.

Введение………………………………………………………………………...3

Глава 1. Историческая справка ……………………………………………….

.4

Глава 2. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать?

2.1. Теоретические основы о кругах Эйлера……………………………..…5

2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера……………………………..7

Глава 3. Зачем нужны круги Эйлера?

Заключение…………………………………………………………………….14

Список литературы…………………………………………………………...15

Введение

Когда на уроках алгебры мы рассматривали тему о пересечении и объединении множеств, нас заинтересовал приём решения задач с помощью схемы, на которой изображались так называемые круги Эйлера, и мы предложил своим друзьям провести исследование с целью выявить задачи, которые проще решать с помощью кругов Эйлера и научиться применять этот способ для их решения. Для достижения поставленной цели мы выдвинули ряд задач:

1) Изучить теоретические сведения по теме "Круги Эйлера".

2) Посмотреть применение "кругов Эйлера" в реальной жизни.

Объект исследования:

Задачи на множества различных элементов (чисел и других объектов)

Предмет исследования:

Множества и действия с ними.

Методы исследования:

1) Наблюдение

2) Анализ решения готовых задач

3) Решение задач, применяя арифметический метод и круги Эйлера

4) Составление задач

5) Анкетирование.

Гипотеза:

Применение кругов Эйлера позволяет решать задачи, которые обычным путём разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Глава 1. Историческая справка

5207076200Леонард Эйлер (1707 - 1783 ) (Рис.1)

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным

Рис. 1

членом базельского питомника гениев.

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный [1].

Его называли идеальным математиком 18 века.

Рис. 2

4462145975995Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн (Рис. 2) — британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна».

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Во многих учебниках математики множество всех действительных чисел Эйлер изображено с помощью кругов, изображённых на рисунке (Рис. 3): N - Множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.

Рис. 3

Глава 2. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать?

2.1.Теоретические основы о кругах Эйлера

Эйлеровы круги (круги Эйлера) — это принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объёмами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером.

Обозначение отношений между объёмами понятий посредством кругов было применено ещё представителем афинской неоплатоновской школы — Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля [3]. -90805847725Условно принято, что круг наглядно изображает объём одного какого-нибудь понятия. Объём же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещённой внутри круга, как это показано на рисунке (Рис. 4 а).

3000375292735 Рис. 4а

Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как это сделано на рисунке (Рис. 4б).

Рис. 4б

Такое именно отношение существует между объемами понятий «небесное тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело» соответствует больший круг, а объёму понятия «комета» — меньший круг. Это означает, что все кометы являются небесными телами. Весь объём понятия «комета» входит в объём понятия «небесное тело».

В тех случаях, когда объёмы двух понятий совпадают только частично, отношение между объёмами таких понятий изображается посредством двух перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке (Рис. 4в): 23495613410

Рис. 4в

Такое именно отношение существует между объёмом понятий «школьник» и «спортсмен». Некоторые (но не все) школьники являются спортсменами; некоторые (но не все) спортсмены являются школьниками. Не заштрихованная часть круга А отображает ту часть объёма понятия «студент», которая не совпадает с объёмом понятия «спортсмен»; не заштрихованная часть круга B отображает ту часть объёма понятия «спортсмен», которая не совпадает с объёмом понятия «школьник». 3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов, обозначает школьников, являющихся спортсменами, и спортсменов, являющихся школьниками.

Другой пример пересекающихся множеств. Пусть множество А – это ребята из нашего класса, которые зарегистрированы в социальной сети ВКонтакте.ru и множество В ребят, которые пользуются другой сетью – Facebook. Есть ребята, которые пользуются одновременно двумя сетями – это множество А и В. Данное множество образуется пересечением (общей частью) двух или более множеств.

Рис. 4г

4271645582295Когда же ни один предмет, отображённый в объёме понятия A, не может одновременно отображаться в объёме понятия B, то в таком случае отношение между объёмами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Ни одна точка, лежащая внутри одного круга, не может оказаться внутри другого круга (Рис. 4г).

Такое именно отношение существует, например, между понятиями «треугольник» и «прямоугольник». В объёме понятия «треугольник» не отображается ни один прямоугольник, а в объёме понятия «прямоугольник» не отображается ни один треугольник.

Рис. 4д

-43180301625Отношения между равнозначащими понятиями, объёмы которых совпадают, отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности которого написаны две буквы, обозначающие два понятия, имеющие один и тот же объём (Рис. 4д).

Такое отношение существует, например, между понятиями "автор и композитор песни "Пять причин" и исполнитель песни "Пять причин". Объёмы этих понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же известное лицо — российский композитор и певец Игорь Николаев.

47955201156335Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу несколько видовых понятий, которые в таком случае называются соподчинёнными. Отношение между такими понятиями изображается наглядно посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего размера, которые нарисованы внутри большего круга (Рис. 4ж).

Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка», «флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».

Рис. 4ж

Круги, изображающие соподчинённые понятия, не должны касаться друг друга и перекрещиваться, так как объёмы соподчиненных понятий несовместимы; в содержании соподчинённых понятий имеются, наряду с общими, различающие признаки. Эта схема отображает общее, что характерно для отношения любых соподчиненных понятий, взятых из различных областей знания. Это применимо к понятиям: «дом», «сарай», «ангар», «театр», подчинённых понятию «постройка»; к понятиям: «муха», «комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчинённых понятию «насекомое» и т. д. 2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов Эйлера на уроках математики.

Задача 1.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Решение.

52070503555В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме (Рис. 5):

Рис. 5

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7 человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга.

Ответ: 10 человек.

Задача 2.

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?

Решение.

Рис. 6б

4271645490220Рис. 6а

-6223090170Изобразим условие с помощью кругов Эйлера (Рис. 6а).

Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей (Рис. 6б).

Только баскетболом занимается 15 - 10 = 5 мальчиков; только волейболом занимается 15 - 9 = 6 мальчиков; в двух секциях занимается 15 - (5+6) = 4 человека.

Ответ: 4 человека.

Задача 3.

Рис. 7

3843020741680В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С изображает жильцов с собаками, круг К - жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак?

Решение (Рис. 7)

Собак имеют 15 + 8 = 23 человека; кошек 23 + 8 = 31 человек ; не имеют ни кошек, ни собак 120 - (15 + 8 +23) = 94 человека.

Ответ: 94 человека.

Задача 4.

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?

Рис. 8

1397036195Решение (Рис. 8)

Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;

только художественный театр посетят

30-12=18 туристов;

80-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр.

Ответ: 10 человек.

Задача 5.

При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у 85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?

Рис. 9

332867065405Решение (Рис. 9)

Имеют планшеты и смартфоны

100 - 8 = 92ученика;

имеют только смартфон 92 - 78 = 14 учеников 6-х классов;

имеют только планшет 92 - 85 = 7 учеников;

имеют и планшет, и смартфон 92 - (14+7)=71 ученик

Ответ: 71 ученик.

Задача 6.

На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром - 60 человек, с ветчиной - 40 человек, с сыром и колбасой - 30 человек, с колбасой и ветчиной = 15 человек, с сыром и ветчиной - 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Рис. 10

3509645224155Решение (Рис. 10).

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.

Сначала отметим 5 человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов;

затем вычислим:

15 - 5 = 10 человек взяли 2 вида бутербродов с колбасой и ветчиной;

25 - 5 = 20 человек взяли два вида бутербродов с сыром и ветчиной;

30 - 5 = 25 человек взяли два вида бутербродов с сыром и колбасой;

50 - (10 + 5 + 25) = 10 человек взяли бутерброды только с колбасой;

60 - (25 + 5 + 20) = 10 человек взяли бутерброды только с сыром;

40 - (10 + 5 + 20) = 5 человек взяли бутерброды только с ветчиной.

Пирожки взяли 92 - (10 + 25 + 10 + 10 + 5 + 20 + 5) = 7 человек.

Ответ: 7 человек.

Задача 7.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Рис. 11

7112066675Решение (Рис. 11).

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуютсятолько метро и троллейбусом – (10 – х) человек, только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30, отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Задача 8.

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах, созданных киностудией "Мельница". В частности, вопросы были о мультфильмах, повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей - Алёши Поповича, Добрыни Никитича и Ильи Муромца.

Оказалось, что большинству из них нравятся "Три богатыря и Шамаханская царица", "Три богатыря на дальних берегах" и "Три богатыря. Ход конём". В анкетировании принимали участие 38 учеников. Мультфильм "Три богатыря на дальних берегах», нравится 21 ученику. Причём трём среди них нравятся ещё и "Три богатыря. Ход конём", шестерым - "Три богатыря и Шамаханская царица", а один ребёнок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма "Три богатыря. Ход конём" 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

Решение

-4318092075Рис. 12а

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так: (Рис. 12а).

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма "Три богатыря. Ход конём" пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу: (Рис. 12б)

Рис. 12б

3252470-78105

Выходит, что (Рис. 12в):

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только "Три богатыря на дальних берегах"

Рис. 12в

-43180107505513 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят в последнее время смотрят только "Три богатыря: Ход конём"

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

857250578485Рис. 12г

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только "Три богатыря и Шамаханская царица" (Рис. 12г).

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

Ответ: 17 человек.

Глава 3. Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале работы.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера: (Рис. 13.)

Рис. 13

297624522860Забавно, правда? И главное, всё сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать несложную схему, которая сразу расставит всё по местам.

Рис. 14

3187701724025Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертёж вроде этого поможет вам определиться с выбором: (Рис. 14)

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трёх кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

1385570379095Например (Рис. 15):

Рис. 15

Заключение

В результате работы над данной темой мы изучили теоретический материал по теме "Круги Эйлера", рассмотрели ряд задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера и пришли к следующим выводам:

1. Круги Эйлера – не просто занимательная и интересная схема, но и весьма полезный метод решения задач. Причём не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

2. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путём разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Таким образом, наша гипотеза подтвердилась. Автор метода - учёный Леонард Эйлер, говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Мы согласны с его словами. Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Выступая на школьной научно-практической конференции, мы заинтересовали аудиторию результатами нашего исследования, поэтому планируем продолжить работу по расширению и углублению знаний о кругах Эйлера.

Список литературы

Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. Текст/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.

Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей Текст/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.

Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.

Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.Текст / А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.

Интернет-ресурс:

1) http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;

2) http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;

3) http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html;